题目内容
【题目】设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
和
,记过点
,
的直线的斜率为
,问:是否存在
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)不存在
【解析】分析:(1)求得导函数,判断二次方程
的根的情况得出
=0的解及
在
上的正负值变化,从而得单调性;
(2)假设存在,由(1)知,先表示出
化简为
,从而
,再由
消元,
(
),设出新函数,通过导数研究出此方程无解,因此得不存在.
详解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+-
=
.
令g(x)=x2-ax+1,则方程x2-ax+1=0的判别式Δ=a2-4.
①当|a|≤2时,Δ≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a<-2时,Δ>0,g(x)=0的两根都小于0,在(0,+∞)上恒有f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当a>2时,Δ>0,g(x)=0的两根为x1=,x2=
,
当0<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x>x2时,f′(x)>0,
故f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.
(2)由(1)知,a>2.
因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+-a(ln x1-ln x2),
所以k==1+
-a·
.
又由(1)知,x1x2=1.于是k=2-a·.
若存在a,使得k=2-a.则=1.
即ln x1-ln x2=x1-x2.
亦即x2--2ln x2=0(x2>1). (*)
再由(1)知,函数h(t)=t--2ln t在(0,+∞)上单调递增,而x2>1,
所以x2--2ln x2>1-
-2ln 1=0.这与(*)式矛盾.
故不存在a,使得k=2-a.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】世界那么大,我想去看看,处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 |
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该所大学共有学生
人,试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在范围内的
名学生中有
名女生,
名男生,现想选其中
名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.
【题目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时)
(1)应收集多少位女生样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |