Question

【题目】如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD=2，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD；
（3）若PC⊥CD，PB=4，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵ABCD为直角梯形，AD=AB=BD，
∴AB⊥BD，
∵PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB平面PAB，
BD⊥平面PAB，
∵PA面PAB，∴PA⊥BD；
（2）解：在上l取一点E，使PE=BC，
∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，
∴PC∥BE，PC平面EBD，BE平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）解：∵PC⊥CD，DC⊥BC，PC∩BC=C，
∴DC⊥平面PBC，
∴DC⊥PB，
∵PB⊥BD，BD∩DC=D，
∴PB⊥平面ABCD，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为=2．
【解析】（1）要证PA⊥BD，只需证明AB⊥BD、PB⊥BD（因为PA、PB是平面PAB内的两条相交直线）；
（2）在上l取一点E，使PE=BC，利用直线l∥直线BC，推出PC∥BE，可以证明直线PC∥平面EBD；
（3）证明PB⊥平面ABCD，再求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．