题目内容

【题目】如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形,小区的两个出入口设置在点及点处,且小区里有一条平行于的小路

(1)已知某人从沿走到用了分钟,从沿走到用了分钟,若此人步行的速度为每分钟米,求该扇形的半径的长(精确到米)

(2)若该扇形的半径为,已知某老人散步,从沿走到,再从沿走到,试确定的位置,使老人散步路线最长。

【答案】(1)445米;(2)在弧的中点处

【解析】

1)假设该扇形的半径为米,在中,利用余弦定理求解;(2)设设,在中根据正弦定理,用表示,进而利用和差公式和辅助角公式化简,再根据三角函数的性质求最值.

(1)方法一:设该扇形的半径为米,连接. 由题意,

(米),(米),

中,

即,

解得(米)

方法二:连接,作,交,由题意,得(米),

(米), ,在中,

.

(米). .

在直角 中,(米),

(米).

(2)连接,设

中,由正弦定理得:

于是

所以当时,最大为 ,此时在弧的中点处。

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