Question

【题目】设椭圆E的方程为 (a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由题意，点的坐标为，根据的斜率为，得到的关系式，即可求解椭圆的离心率；

（2）由（1）可得直线的方程为，得点的坐标，解得点关于点的对称点，列出方程组，求解的值，进而得到椭圆的方程．

试题解析：

解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，

进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，

则线段NS的中点T的坐标为.

又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，

从而有解得b＝3.

所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.