题目内容
【题目】已知函数 ,若 ,且 对任意的 恒成立,则 的最大值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B
【解析】
因为 ,若 ,且 对任意的 恒成立,
即 ,因为
即 ,对任意 恒成立,
令 ,则
令 ,则
所以函数 在 上单调递增.
因为
所以方程 在 上存在唯一实根 ,且满足
当 时, ,即 ,当 时, ,即
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增
所以
所以
所以 ,因为 ,故整数 的最大值为 ,故答案为:B.
本题主要考查利用导数求解函数的单调性,进而求函数的最值问题。考查了等价转化的数学思想方法,把恒成立的问题利用分离变量的方法把不同的两个变量进行分类,转化为求函数的最值的问题,即,对任意的恒成立,然后再利用导数确定函数的单调区间,进而求出函数的最小值。
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