题目内容
14．
已知四边形ABCD是边长为$\sqrt{3}$的菱形，对角线AC=2$\sqrt{2}$．分别过点B，C，D向平面ABCD外作3条相互平行的直线BE、CF、DG，其中点E，F在平面ABCD同侧，CF=8，且平面AEF与直线DG相交于点G，GE∩AF=P，AC∩BD=O，连结OP．（Ⅰ）证明：OP∥DG；
（Ⅱ）当点F在平面ABCD内的投影恰为O点时，求四面体FACE的体积．
分析 （Ⅰ）由线面平行的判断证明CF∥面BDGE，然后结合线面平行的性质证得OP∥DG；
（Ⅱ）把四面体FACE的体积写为VF-ACE，化为VE-ACF，进一步转化为VB-ACF，再转化为VF-ABC得答案．
解答 （Ⅰ）证明：如图，∵CF∥BE，BE?平面BDGE，CF?面BDGE，
∴CF∥面BDGE，
又CF?面ACF，面BDGE∩面ACF=OP，∴CF∥OP．
又CF∥GD，∴OP∥GD；
（Ⅱ）解：VF-ACE=VE-ACF．
∵BE∥CF，∴VE-ACF=VB-ACF=VF-ABC=$\frac{1}{3}$S△ABC•OF，
又∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•OB$=$\sqrt{2}$，OF=$\sqrt{F{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{62}$．
∴VF-ACE=VF-ABC=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2}•\sqrt{62}$=$\frac{2}{3}\sqrt{31}$．
点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
练习册系列答案
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