题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，
∥
．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AB |
| OM |
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
依题意，作图如图：
（1）设F1（-c，0），则xM=-c，yM=
，
∴kOM=-
．
∵kAB=-
，
∥
，
∴-
=-
，
∴b=c，故e=
=
．
（1）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=θ，
∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c．
cosθ=
=
=
-1≥
-1=0，
当且仅当r1=r2时，cosθ=0，
∴θ∈[0，
]．
（1）设F1（-c，0），则xM=-c，yM=
| b2 |
| a |
∴kOM=-
| b2 |
| ac |
∵kAB=-
| b |
| a |
| OM |
| AB |
∴-
| b2 |
| ac |
| b |
| a |
∴b=c，故e=
| c |
| a |
| ||
| 2 |
（1）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=θ，
∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c．
cosθ=
r12+
| ||
| 2r1r2 |
| (r1+r2)2-2r1r2-4c2 |
| 2r1r2 |
=
| 2b2 |
| r1r2 |
| 2b2 | ||
(
|
当且仅当r1=r2时，cosθ=0，
∴θ∈[0，
| π |
| 2 |
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