题目内容
【题目】已知四棱锥的底面为直角梯形,
,
,
底面
,且
,
,
是
的中点.
(1)证明:面面
;
(2)求与
夹角的余弦值;
(3)求面与面
所成二面角余弦值的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)证明面面
,只需证明平面
内的直线
垂直于平面
内的相交直线
即可;(2)建立空间直角坐标系,求得
,
,利用向量所成的角,即可求解异面直线
与
夹角的余弦值;(3)作在
上取一点
,则存在
,使
,得
,
.所以
为所求二面角的平面角,即可利用向量所成角的公式,求解面
与面
所成二面角余弦值的大小.
试题解析:
证明:以为坐标原点
长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
,
,
,
,
,
(1)证明:因,
,故
,所以
.
由题设知,且
与
是平面
内的两条相交直线,由此得
面
,
又在面
上,故面
面
.
(2)解:因,
,
故,
,
,
所以.
(3)解:在上取一点
,则存在
,使
,
,
,∴
,
,
.
要使,只需
,即
,解得
.
可知当时,
点坐标为
,能使
.
此时,,
,有
.
由,
,得
,
.
所以为所求二面角的平面角.
∵,
,
,
∴
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