题目内容
【题目】一个盒子中装有大小相同的小球
个，在小球上分别标有1，2，3…，的号码，已知从盒子中随机取出两个球，两球号码的最大值为的概率为
．
（Ⅰ）盒子中装有几个小球？
（Ⅱ）现从盒子中随机地取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量
（如取标号分别为2，4，6，8的小球时
；取标号分别为1，2，4，6的小球时
；取标号分别为1，2，3，5的小球时
），求
的值．
【答案】（Ⅰ）8个；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）由题意计算出两球号码的最大值为
的情况共有
种，利用古典概型概率公式可得
，即可得解；
（Ⅱ）由题意，未被选中的4个小球会形成5个空位（包括两端），取出的小球相当于要插入这些空位中（可以多个小球插入同一空位），将
分为“4个小球仅有2个小球的编号连续”和“4个小球有2个小球的编号连续，另外2个小球的编号也连续”两种情况分类计算，最后由古典概型概率公式即可得解.
（Ⅰ）从盒子中随机取出两个球，两球号码的最大值为的情况共有种，
则，解得
，
所以盒中共有8个小球；
（Ⅱ）由题意，未被选中的4个小球会形成5个空位（包括两端），取出的小球相当于要插入这些空位中（可以多个小球插入同一空位），
表示取出的4个小球的编号连续的个数的最大值为2，可分为两类：
①4个小球仅有2个小球的编号连续，则要在5个空位中选出三个，其中一个放入2个小球，所以共有取法
种；
②4个小球有2个小球的编号连续，另外2个小球的编号也连续，则只需在5个空位中选出两个，所以共有取法
种；
综上，
.
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