题目内容
【题目】椭圆
上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝
，
，
，则椭圆的离心率的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出
即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴=
即e==
∵a∈[
，
]，∴
≤α+≤
∴
≤sin（α+）≤1 ∴
≤e≤
故答案为：[，]
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