题目内容
【题目】如图6,四棱柱的所有棱长都相等,
,四边形
和四边形
为矩形.
(1)证明:底面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1) 详见解析 (2)
【解析】
试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与
垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到
均为中点,得到
三者相互平行,四边形
均为矩形与平行相结合即可得到
与
垂直,进而证明线面垂直.
(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过
作
的垂线交
于点
,连接
.利用(1)得到
,在利用四边形
为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到
垂直于平面
,进而得到
,结合
得到线面垂直,说明角
即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为
,利用勾股定理求出相应边长即可得到角
的余弦值,进而得到二面角的余弦值.
(1)证明:四棱柱
的所有棱长都相等
四边形
和四边形
均为菱形
分别为
中点
四边形
和四边形
为矩形
且
又且
底面
底面
.
(2)法1::过作
的垂线交
于点
,连接
.不妨设四棱柱
的边长为
.
底面
且底面
面
面
又面
四边形
为菱形
又且
,
面
面
又面
又且
,
面
面
为二面角
的平面角,则
且四边形
为菱形
,
,
则
再由的勾股定理可得
,
则,所以二面角
的余弦值为
.
法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形
是菱形,因此
,又
面
,从而
两两垂直,如图以
为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立三维直角坐标系,不妨设
,因为
,所以
,
,于是各点的坐标为:
,已知
是平面
的一个法向量,设
是平面
的一个法向量,则
,
,取
,则
,
所以,
,故二面角
的余弦值为
.
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