题目内容
【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数,
).
(1)若是函数
的极值点,求
的值,并求
的单调区间;
(2)若时都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
(2)
【解析】
(1)由极值点可知,从而求得
;根据导函数的正负即可确定
的单调区间;
(2)求导后得到导函数;当和
时,可根据导函数正负确定
单调递增,从而
,满足题意;当
时,由零点存在定理可知存在
,使得
时,
,由单调性可知
不恒成立;从而得到所求范围.
(1)由得:
定义域为
,
是
的极值点
,解得:
此时,
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增
的单调递减区间为
,单调递增区间为
(2),
①当时,
恒成立
单调递增
,满足题意
②当时,
是
上的增函数,且
若,即
,则
且不恒等于
单调递增
,满足题意
若,即
,
,
存在
,使得
当时,
,则
单调递减
即不恒成立,不合题意
综上所述:实数的取值范围为
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