题目内容
【题目】已知函数,若存在
,使得
,则实数
的值为______.
【答案】
【解析】
函数f(x)可以看作是动点M(x,ex)与动点N(-a,-)之间距离的平方,问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离,由y=ex得,y′=ex=
,曲线上点M(-1,
)到直线y=
x的距离最小,要使f(x0)≤
,则f(x0)=
,然后求解a即可.
函数f(x)=(x+a)2+(ex+)2,
函数f(x)可以看作是动点M(x,ex)与动点N(-a,-)之间距离的平方,
动点M在函数y=ex的图象上,N在直线y=x的图象上,
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离,
由y=ex得,y′=ex=,解得x=-1,
所以曲线上点M(-1,)到直线y=
x的距离最小,最小距离d=
,
则f(x)≥,
根据题意,要使f(x0)≤,则f(x0)=
,
此时N恰好为垂足,由KMN=-e,解得a= .
故答案为:.
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