题目内容
【题目】设函数
，其中
．
（1）当
时，求函数
的极值；
（2）若函数
在区间
上有两个零点，求
的取值范围．
【答案】（1）
有极小值
，极大值
；（2）
或
.
【解析】
（1）求出
，讨论导数的符号后可判断并求出函数的极值.
（2）
在区间
上有两个零点等价于直线
与曲线
，
有且只有两个公共点，后者可利用导数讨论其单调性，从而可求实数
的取值范围.
（1）当
时，
.
此时
，则
.
当
时，
，当
或
时，
，
∴在
，
上单调递减，在
上单调递增.
所以有极小值
，有极大值.
（2）由
，得
.
所以“
在区间
上有两个零点”等价于
“直线与曲线，有且只有两个公共点”.
又
.
由
，解得
，
.
当
时，
；当或
时，
，
∴
在
，
上单调递减，在
上单调递增.
又因为
，
，
，
，
所以当
或
时，直线与曲线，有且只有两个公共点.
∴当或时，函数在区间上有两个零点.
练习册系列答案
相关题目
【题目】有编号为
的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
编号 |
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直径 | 1.51 | 1.49 | 1.49 | 1.51 | 1.49 | 1.51 | 1.47 | 1.46 | 1.53 | 1.47 |
其中直径在区间
内的零件为一等品.
（1）上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率.
（2）从一等品零件中，随机抽取2个；
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率.
