题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
,上、下顶点分别为
、
,
为坐标原点,四边形
的面积为
,且该四边形内切圆的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若、
是椭圆
上的两个不同的动点,直线
、
的斜率之积等于
,试探求
的面积是否为定值,并说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(1)利用题意求得,
,则椭圆
的方程为:
;
(2)分别考查斜率存在和斜率不存在两种情况,求得的面积为定值
.
试题解析:
(Ⅰ)四边形
的面积为
,又可知四边形
为菱形,
,即
①
由题意可得直线方程为:
,即
四边形
内切圆方程为
圆心
到直线
的距离为
,即
②
由①②解得: ,
椭圆
的方程为:
(Ⅱ)若直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
,
,
由得:
直线
与椭圆
相交于
两个不同的点,
得:
③
由韦达定理:
直线
的斜率之积等于
,
满足③
又到直线
的距离为
,
所以的面积
若直线的斜率不存在,
关于
轴对称
设,
,则
,
又
在椭圆上,
,
所以的面积
综上可知, 的面积为定值
.
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甲 | ||||||||
乙 |
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