Question

19．求和S_n=$\frac{{2}^{2}+1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{4}^{2}+1}{{4}^{2}-1}$+$\frac{{6}^{2}+1}{{6}^{2}-1}$+…+$\frac{（2n）^{2}+1}{（2n）^{2}-1}$=n+$\frac{2n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 通过变形可知$\frac{（2n）^{2}+1}{（2n）^{2}-1}$=1+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：依题意，$\frac{（2n）^{2}+1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{2n（2n+1）-（2n-1）}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{2n}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=1+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴S_n=$\frac{{2}^{2}+1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{4}^{2}+1}{{4}^{2}-1}$+$\frac{{6}^{2}+1}{{6}^{2}-1}$+…+$\frac{（2n）^{2}+1}{（2n）^{2}-1}$
=n+（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=n+1-$\frac{1}{2n+1}$
=n+$\frac{2n}{2n+1}$，
故答案为：n+$\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．