Question

4．若f（x）=$\frac{x}{x+1}$，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f（x）]（n≥2，n∈N^*），则f（1）+f（2）+…+f（2012）+f₁（1）+f₂（1）+…+f₂₀₁₂（1）=2012．

Answer 1

分析 根据所给函数关系，分别求出f（1）+f（2）+…+f（2012）；f₁（1）+f₂（1）+…+f₂₀₁₂（1），即可求得结论．

解答 解：∵f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f（x）]（n≥2，n∈N^*），
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+…+$\frac{2012}{2013}$，
∵f₁（1）=$\frac{1}{2}$，f₂（1）=f₁[f（1）]=f₁（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$，…，f₂₀₁₂（1）=$\frac{1}{2013}$，
∴f₁（1）+f₂（1）+…+f₂₀₁₃（1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2013}$，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）+f₁（1）+f₂（1）+…+f₂₀₁₂（1）=2012．
故答案为：2012．

点评 本题考查数列与函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．