Question

8．数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊）．
（1）设b_n=a_n-3n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊）变形可知a_n-3n=2[a_n-1-3（n-1）]，进而可知数列{b_n}是以-2为首项、2为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n=3n-2ⁿ，进而利用分组法求和计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊），
∴a_n-3n=2[a_n-1-3（n-1）]，
又∵a₁=1，
∴b₁=a₁-3=1-3=-2，
∴数列{b_n}是以-2为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知b_n=a_n-3n=-2•2^n-1=-2ⁿ，
∴a_n=3n-2ⁿ，
∴S_n=3•$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{3}{2}$（n²+n）+2-2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等比数列的判定以及数列的通项及前n项和，利用分组法求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．