Question

9．已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}{-c}^{2}}{ac}$=$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$．
（1）求角A的大小；
（2）设关于角B的函数f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-sin²B+cos²B，求f（B）的值域．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，倍角公式化简已知可得sin2A=1，结合范围0$＜A＜\frac{π}{2}$即可解得A的值．
（2）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（B）=$\sqrt{3}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，由0$＜B＜\frac{π}{2}$可得$\frac{π}{3}$＜2B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，解得sin（2B+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可得解值域．

解答 解：（1）∵$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}{-c}^{2}}{ac}$=-2（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$）=-2cosB=$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$=$\frac{cosCcosA-sinCsinA}{sinAcosA}$=$\frac{cos（C+A）}{\frac{1}{2}sin2A}$=-$\frac{2cosB}{sin2A}$．
∴sin2A=1，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$.0＜2A＜π，
∴2A=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{4}$．
（2）∵f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-sin²B+cos²B
=2cosB（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）-1+2cos²B
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{3}{2}$cos2B+$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$
∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜2B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴sin（2B+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（B）=$\sqrt{3}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$∈（-1，$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．