题目内容
【题目】已知函数,其中实数
为常数,
为自然对数的底数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)当时,解关于
的不等式
;
(3)当时,如果函数
不存在极值点,求
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ;单调递减区间为
.(2)
(3)
【解析】试题分析:把代入由于对数的真数为正数,函数定义域为
,所以函数化为
,求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间;代入
,
,分
和
两种情况解不等式;当
时,
,求导
,函数
不存在极值点,只需
恒成立,根据这个要求得出
的范围.
试题解析:
(1)时,
,
令,解得
,
且时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
所以单调递增区间为
;单调递减区间为
.
(2)时,
.
当时,原不等式可化为
.
记,则
,
当时,
,
所以在
单调递增,又
,故不等式解为
;
当时,原不等式可化为
,显然不成立,
综上,原不等式的解集为.
(3)时,
,
,记
,
因为时,
,
所以不存在极值点时
恒成立.
由,解得
且时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
所以,解得
.
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