Question

11．已知函数f（x）的定义域为实数集R，等式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy+3对任意实数x、y都成立，且f（1）=1．
（1）求f（0）的值；
（2）当x是整数时，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy+3对任意实数x、y都成立，令x=y=0，可得f（0）的值；
（2）令y=1，可得f（x+1）-f（x）=2x+4，分类讨论，利用累加法，可求出x是整数时，函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy+3对任意实数x、y都成立，
令x=y=0，则f（0）=2f（0）+3，
解得：f（0）=-3，
（2）令y=1，∵f（1）=1
∴f（x+1）=f（x）+f（1）+2x+3=f（x）+2x+4，
∴f（x+1）-f（x）=2x+4，
当x为正整数时，
f（x）-f（x-1）=2x+2，
f（x-1）-f（x-2）=2x，
…
f（3）-f（2）=8，
f（2）-f（1）=6，
累加得：f（x）-f（1）=6+8+…+2x+2x+2=$\frac{6+2x+2}{2}×（x-1）$=x²+3x-4，
∴f（x）=x²+3x-3，
当x=0时，f（0）=x²+3x-3=-3，满足要求；
当x为负整数时，
f（x）-f（x-1）=2x+2，
f（x-1）-f（x-2）=2x，
…
f（-3）-f（-2）=-4，
f（-2）-f（-1）=-2，
f（-1）-f（0）=0，
累加得：f（x）-f（0）=$\frac{2x+2}{2}×x$=x²+x，
∴f（x）=x²+x-3，
综上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x-3，x为负整数\\{x}^{2}+3x-3，x为非负整数\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，分段函数及其应用，函数求值，难度中档．