题目内容
【题目】如图，在五面体
中，四边形
是正方形，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据已知可证
，可得四边形
为等腰梯形，进而证明
，再由已知可证
平面，从而有
，可得
平面
，即可证明结论；
（1）以
为原点建立空间直角坐标系（如下图所示），确定
坐标，求出平面
的法向量坐标，根据空间向量线面角公式，即可求解.
（1）证明：由已知
，且
平面
，
平面，所以
平面.
又平面
平面
，故
.
又
，
所以四边形为等腰梯形，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以.
因为
，
，且
，
所以平面.所以.
又
，∴平面，
又
平面，所以
.
（2）如图，以为原点，且
，
，
分别为
，
，
轴，
建立空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面的法向量为
，
由
，得
，
令
，得
.
设直线与平面所成的角为
，
，
所以直线
与平面所成角的正弦值为.
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