题目内容
19.设命题p:函数f(x)=lg(x2-x+$\frac{1}{16}$a2)的定义域为R,q:?m∈[-1,1],a2-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.分析 求出命题p,q成立的等价条件,结合命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,得到p,q一真一假,然后进行求解即可.
解答 解:命题p:若函数f(x)=lg(x2-x+$\frac{1}{16}$a2)的定义域为R,
则x2-x+$\frac{1}{16}$a2>0恒成立,
即判别式△=1-$\frac{1}{4}$a2<0,
即a2>4,解得a>2或a<-2.…(1分)
命题q:∵m∈[-1,1],∴$\sqrt{{m}^{2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$,3].
∵对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立,可得a2-5a-3≥3,
即a2-5a-6≥0,
∴a≥6或a≤-1.
故命题q为真命题时,a≥6或a≤-1.…(3分)
命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p,q一真一假…(4分)
(1)若p真q假,则$\left\{\begin{array}{l}{a<-2或a>1}\\{-1<a<6}\end{array}\right.$,解得2<a<6 …(8分)
(2)若p假q真,则$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≤0或a≥6}\end{array}\right.$,解得-2≤a≤-1 …(10分)
综上(1)(2)所述:-2≤a≤-1或2<a<6为所求的取值范围.…(12分)
点评 本题主要考查复合命题的真假的判断,求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键.
练习册系列答案
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A. | $\frac{4}{25}$ | B. | $\frac{25}{4}$ | C. | $\frac{25}{16}$ | D. | $\frac{16}{25}$ |
4.某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼,每季养殖成本为10000元,此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
(Ⅰ)设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润,求X的分布列和期望;
(Ⅱ)若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼,求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率.
鱼池产量(kg) | 300 | 500 |
概 率 | 0.5 | 0.5 |
鱼的市场价格(元/(kg) | 60 | 100 |
概 率 | 0.4 | 0.6 |
(Ⅱ)若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼,求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率.