题目内容
12．已知f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4}$（x＞0），若数列{an}满足a1=2，an=f（an-1），n∈N*，且n≥2，求此数列的通项公式．分析 通过an=$\sqrt{{{a}_{n-1}}^{2}+4}$（n≥2）可知${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+4，进而可知数列{${{a}_{n}}^{2}$}是以首项、公差均为4的等差数列，计算即得结论．
解答 解：依题意，an＞0，
∵an=$\sqrt{{{a}_{n-1}}^{2}+4}$（n≥2），
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+4，
又∵${{a}_{1}}^{2}$=4，
∴数列{${{a}_{n}}^{2}$}是以首项、公差均为4的等差数列，
∴${{a}_{n}}^{2}$=4n，
∴an=2$\sqrt{n}$．
点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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3．设函数y=|ex-1|的图象与直线y=$\frac{1}{m+1}$的两交点横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），与直线y=m的两交点横坐标分别为x3、x4（x3＜x4），若m∈（0，$\frac{1}{2}$），则（x4+x1）-（x3+x2）的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，0） | B． | （-∞，ln$\frac{3}{5}$） | C． | （ln$\frac{3}{5}$，0） | D． | （-∞，-1） |
20．若$\sqrt{4{a}^{2}-4a+1}$=$\root{3}{（1-2a）^{3}}$，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | a∈R | B． | a=$\frac{1}{2}$ | C． | a＞$\frac{1}{2}$ | D． | a≤$\frac{1}{2}$ |