题目内容
【题目】已知
是椭圆
的左、右焦点，离心率为
，
是平面内两点，满足
，线段
的中点
在椭圆上，
周长为12.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若过
的直线
与椭圆交于
，求
（其中
为坐标原点)的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）连接
，由向量的性质得出点
是线段
的中点，结合中位线定理以及椭圆的性质得出
，再由离心率公式得出
，进而得出
，即可得出椭圆方程；
（2）当直线
的斜率不存在时，将直线
，代入椭圆方程，得出
坐标，利用向量数量积公式得出
；当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，并代入椭圆方程，利用韦达定理得出
，
的值，由判别式得出
的范围，求出
，利用向量的数量积公式得出
，最后由不等式的性质得出其范围.
（1）连接，
，
，
是线段的中点，
是线段
的中点，
由椭圆的定义知，
，
周长为
由离心率为
知，
，解得
椭圆
的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线，代入椭圆方程解得
，
此时，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
代入椭圆的方程
整理得，
设
，则
，
，解得
=
，
，
，
综上所述，
的取值范围为.
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