题目内容
【题目】设函数
有两个极值点
.
（1）求实数
的取值范围；
（2）求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）对函数求导，设
，令
，得
，可得
（1）
，分类讨论，①当
，
无极值，不合题意，舍去；②当
，
，
为的两个极值点，符合题意．可得
的范围;（2）不妨设
，由
，可得
，可求
．即可得证．
（1）
，
设，则
，
令
，得：，可得：
，
，
递增；
，
，递减．
（1），
①当，即
时，
，即
，所以，递减，无极值，不合题意，舍去；
②当，即
时，则
（1）
，
，
，
（1）
，
在
有唯一零点
，
又
，且
设
（a）
，
（a）
，
（a）在
上递增，
（a）
．
（1），
在
有唯一零点
，
从而，
，
，递减；
，
，
，递增；
，
，，递减；
所以，，为的两个极值点，符合题意．
综上，，
（2）证明：不妨设，
，
由，有，
．得证．
【题目】某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为
元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这
万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取
名，每名用户赠送元的红包，为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中
表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；
（1）根据上面的数据求出关于的回归直线方程；
（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为
．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为
元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于
万元，能否把保费定为5元？
x | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
y | 0.79 | 0.59 | 0.38 | 0.23 | 0.01 |
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
，
参考数据：表中的5个值从左到右分别记为
，相应的值分别记为
，经计算有
，其中
，
．
