Question

15．已知△ABC三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．
（1）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（2）求△ABC外接圆⊙M的方程；
（3）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，且PQ=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标分别求得AC，BC的斜率判断出两直线垂直，进而判断出三角形为直角三角形．
（2）先确定圆心，进而利用两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可得．
（3）先看直线斜率不存在时判断是否符合，进而看斜率存在时设出直线的方程，利用圆心到直线的距离求得k，则直线的方程可得．

解答 解：（1）因为A（1，0），B（1，4），C（3，2），所以k_AC=1，k_BC=-1，
所以CA⊥CB，又CA=CB=2$\sqrt{2}$，所以△ABC是等腰直角三角形，
（2）由（1）可知，⊙M的圆心是AB的中点，所以M（1，2），半径为2，
所以⊙M的方程为（x-1）²+（y-2）²=4．
（3）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2$\sqrt{3}$时，
圆心到直线的距离为$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
①当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它与圆心M（1，2）的距离为1，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，因为圆心到直线y=kx+4的距离为$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{3}{4}$，此时直线l的方程为3x+4y-16=0．
综上可知，直线l的方程为x=0或3x+4y-16=0．

点评 本题主要考查了直线与圆的综合问题的应用．利用圆心到直线的距离解决问题是常用的方法．