题目内容

15.已知△ABC三个顶点分别为A(1,0),B(1,4),C(3,2),直线l经过点(0,4).
(1)求证:△ABC是等腰直角三角形;
(2)求△ABC外接圆⊙M的方程;
(3)若直线l与⊙M相交于P,Q两点,且PQ=2$\sqrt{3}$,求直线l的方程.

分析 (1)根据点的坐标分别求得AC,BC的斜率判断出两直线垂直,进而判断出三角形为直角三角形.
(2)先确定圆心,进而利用两点间的距离公式求得半径,则圆的方程可得.
(3)先看直线斜率不存在时判断是否符合,进而看斜率存在时设出直线的方程,利用圆心到直线的距离求得k,则直线的方程可得.

解答 解:(1)因为A(1,0),B(1,4),C(3,2),所以kAC=1,kBC=-1,
所以CA⊥CB,又CA=CB=2$\sqrt{2}$,所以△ABC是等腰直角三角形,
(2)由(1)可知,⊙M的圆心是AB的中点,所以M(1,2),半径为2,
所以⊙M的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
(3)因为圆的半径为2,当直线截圆的弦长为2$\sqrt{3}$时,
圆心到直线的距离为$\sqrt{{2}^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$=1.
①当直线l与x轴垂直时,l方程为x=0,它与圆心M(1,2)的距离为1,满足条件;
②当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+4,因为圆心到直线y=kx+4的距离为$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得k=-$\frac{3}{4}$,此时直线l的方程为3x+4y-16=0.
综上可知,直线l的方程为x=0或3x+4y-16=0.

点评 本题主要考查了直线与圆的综合问题的应用.利用圆心到直线的距离解决问题是常用的方法.

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