题目内容
10.已知函数y=f(x)的定义域为R,且不恒为0,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0)的值;
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性;
(3)当x>0时,f(x)<0,判断函数y=f(x)的单调性.
分析 (1)利用赋值法令x=y=0即可得到结论.
(2)利用函数奇偶性的定义,结合抽象函数,证明f(x)为奇函数;
(3)根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系进行证明即可.
解答 解:(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
(2)令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(3)设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),
∵x1>x2,
∴x1-x2>0,
则f(x1-x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),即函数为减函数.
点评 本题主要考查抽象函数的应用,利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键.
练习册系列答案
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