Question

1．求下列函数的值域：
（1）-x²-4x+3；
（2）y=$\frac{1}{2+x+{x}^{2}}$；
（3）y=x-$\sqrt{x+2}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求二次函数的值域；
（2）利用配方法求出x²+x+2的范围，取倒数得答案；
（3）令$\sqrt{x+2}=t$（t≥0）换元，然后转化为二次函数求值域．

解答 解：（1）∵y=-x²-4x+3=-（x+2）²+7≤7，
∴函数y=-x²-4x+3的值域为（-∞，7]；
（2）∵${x}^{2}+x+2=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}≥\frac{7}{4}$，
∴y=$\frac{1}{2+x+{x}^{2}}$∈（0，$\frac{4}{7}$]；
（3）令$\sqrt{x+2}=t$（t≥0），∴x=t²-2，
∴y=x-$\sqrt{x+2}$化为g（t）=t²-t-2（t≥0），
其对称轴方程为t=$\frac{1}{2}$，∴$g（t）_{min}=g（\frac{1}{2}）=-\frac{9}{4}$，
∴y=x-$\sqrt{x+2}$的值域为[$-\frac{9}{4}，+$∞）．

点评 本题考查函数的值域及其求法，训练了配方法及换元法求函数的值域，是中档题．