Question

19．函数y=2x+$\frac{3x}{x-1}$在（2，+∞）上的最小值是5+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 将函数变形可得函数y=2x+3+$\frac{3}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+5，再由基本不等式即可得到最小值．

解答 解：函数y=2x+$\frac{3x}{x-1}$
=2x+3+$\frac{3}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+5
≥2$\sqrt{2（x-1）•\frac{3}{x-1}}$+5=5+2$\sqrt{6}$．
当且仅当2（x-1）=$\frac{3}{x-1}$，
即x=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$＞2，取得最小值，且为5+2$\sqrt{6}$．
故答案为：5+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查变形和运算能力，属于中档题．