Question

【题目】在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*
（1）证明数列{an﹣n}为等比数列
（2）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=4an﹣3n+1，n∈N*，

∴an+1﹣（n+1）=4an﹣3n+1﹣（n+1），

4an﹣4n=4（an﹣n）．

∴{an﹣n}为首项a1﹣1=1，公比q=4的等比数列；

（2）解：∵an﹣n=4n﹣1，

∴an=n+4n﹣1，

Sn=1+2+…+n+（1+4+…+4n﹣1）= = ．

【解析】（1）由an+1=4an﹣3n+1可得an+1﹣（n+1）=4an﹣3n+1﹣（n+1）=4an﹣4n=4（an﹣n），从而可证（2）由（1）可求an ， 利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求Sn
【考点精析】掌握等差数列的前n项和公式和等比数列的前n项和公式是解答本题的根本，需要知道前n项和公式：；前项和公式：．