题目内容
【题目】对于维向量
,若对任意
均有
或
,则称
为
维
向量. 对于两个
维
向量
定义
.
(1)若, 求
的值;
(2)现有一个维
向量序列:
若
且满足:
,求证:该序列中不存在
维
向量
.
(3) 现有一个维
向量序列:
若
且满足:
,若存在正整数
使得
为
维
向量序列中的项,求出所有的
.
【答案】(1)(2)不存在(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据的定义可求得其值;(Ⅱ)利用反证法,向量
的每一个分量变为
,都需要奇数次变化,根据
,得出矛盾;(Ⅲ)根据题意可得
.
试题解析:(Ⅰ)由于,
,由定义
,
可得.
(Ⅱ)反证法:若结论不成立,即存在一个含维
向量序列
,
使得,
.
因为向量的每一个分量变为
,都需要奇数次变化,
不妨设的第
个分量
变化了
次之后变成
,
所以将中所有分量
变为
共需要
次,此数为奇数.
又因为,说明
中的分量有
个数值发生改变,
进而变化到,所以共需要改变数值
次,此数为偶数,所以矛盾.
所以该序列中不存在维
向量
.
(Ⅲ)此时.
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