Question

【题目】已知函数f（x）=﹣（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．
（1）若命题“log2g（x）＜1”是真命题，求x的取值范围；
g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．
（2）设命题p：x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：x∈（﹣1，0），f（x

Answer 1

【答案】
（1）解：由log2g（x）＜1，得log2（2x﹣2）＜1，即0＜2x﹣2＜2，解得1＜x＜2．

∴命题“log2g（x）＜1”是真命题，x的取值范围是1＜x＜2；

（2）解：∵x∈（1，+∞），g（x）=2x﹣2＞0，

∴若命题p：x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0为真命题，则

x∈（1，+∞），f（x）＜0，即

x∈（1，+∞），﹣（x﹣2m）（x+m+3）＜0，也就是（x﹣2m）（x+m+3）＞0．

即 或 ，

解得：﹣4 ；

∵x∈（﹣1，0），g（x）=2x﹣2＞0，

∴命题q：x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0，即x∈（﹣1，0），f（x）＞0．

也就是x∈（﹣1，0），（x﹣2m）（x+m+3）＜0．

即[（﹣1﹣2m）（2+m）][（﹣2m）（m+3）]＜0．

解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣ ＜m＜0．

若p∧q是真命题，则m的取值范围为：﹣3＜m＜﹣2

【解析】（1）把g（x）代入log2g（x）＜1，求解对数不等式和指数不等式得到x的范得答案；（2）由题意知x∈（1，+∞），g（x）＜0为假命题，则x∈（1，+∞），f（x）＜0为真命题，然后利用三个二次结合列关于m的不等式组求得m的范围；再由命题q：x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0，得x∈（﹣1，0），（x﹣2m）（x+m+3）＜0，求出m的范围，结合p∧q是真命题，取交集得m的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用，需要了解两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能得出正确答案．