题目内容
【题目】已知中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
的椭圆过点
.
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线
，与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为
，满足
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
(1)根据题意列出方程组：
解出即可；（2）联立直线和椭圆得到方程：(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，4k＝k1＋k2＝
，由韦达定理得到表达式，进而得到结果.
(1)设椭圆的方程为
＋
＝1(a>b>0)，则由题意得
解得a＝2，b＝1，
∴椭圆的方程为
＋y2＝1.
(2)由
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
令Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，得m2<4k2＋1(*)，
∴x1＋x2＝－
，x1x2＝
，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴k1＝
，k2＝
，
则4k＝k1＋k2＝＋＝
＝
＝2k－
，
∴m2＝
，满足(*)式，故m2＝.
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