题目内容
已知函数F(x)=
，(x≠
)．
（I）求F(
)+F(
)+F(
)+…+F(
)；
（II）已知数列满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ） 求证：a1a2a3…an＞
．
| 3x-2 |
| 2x-1 |
| 1 |
| 2 |
（I）求F(
| 1 |
| 2013 |
| 2 |
| 2013 |
| 3 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
（II）已知数列满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ） 求证：a1a2a3…an＞
| 2n+1 |
分析：（I）证明F（x）+F（1-x）=3，利用倒序相加法，可得结论；
（II）证明{
}是以2为公差以
=1为首项的等差数列，可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明
＞
，即可得到结论．
（II）证明{
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| a1-1 |
（Ⅲ）证明
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
解答：（I）解：因为F（x）+F（1-x）=
+
=3
所以设S=F(
)+F(
)+F(
)+…+F(
)（1）
S=F(
)+F(
)+F(
)+…+F(
)（2）
（1）+（2）得：2S=3×2012
所以S=3018----------------（5分）
（II）解：由an+1=F（an），两边同减去1，得an+1-1=
所以
-
=2，
所以{
}是以2为公差以
=1为首项的等差数列，
所以
=1+(n-1)×2=2n-1
所以an=
---------------（10分）
（III）证明：因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n-1）（2n+1）
所以
＞
所以（a1a2a3…an）2＞
•
•…
=2n+1
所以a1a2a3…an＞
．----------------------------（14分）
| 3x-2 |
| 2x-1 |
| 3(1-x)-2 |
| 2(1-x)-1 |
所以设S=F(
| 1 |
| 2013 |
| 2 |
| 2013 |
| 3 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
S=F(
| 2012 |
| 2013 |
| 2011 |
| 2013 |
| 2010 |
| 2013 |
| 1 |
| 2013 |
（1）+（2）得：2S=3×2012
所以S=3018----------------（5分）
（II）解：由an+1=F（an），两边同减去1，得an+1-1=
| an-1 |
| 2an-1 |
所以
| 1 |
| an+1-1 |
| 1 |
| an-1 |
所以{
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| a1-1 |
所以
| 1 |
| an-1 |
所以an=
| 2n |
| 2n-1 |
（III）证明：因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n-1）（2n+1）
所以
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
所以（a1a2a3…an）2＞
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 2n+1 |
| 2n |
所以a1a2a3…an＞
| 2n+1 |
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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