题目内容
【题目】已知椭圆:的离心率为
,圆
的圆心与椭圆C的上顶点重合,点P的纵坐标为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为2的直线l与椭圆C交于A,B两点,探究:在椭圆C上是否存在一点Q,使得,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)不存在.
【解析】
(2)求出圆心的坐标,得到.结合椭圆的离心率及
列方程组,解方程组求得
的值,进而求得椭圆的标准方程.(2)首先假设存在这样的
点,设出
的坐标以及直线
的方程,得到
两点的坐标,代入
,联立直线
的方程和椭圆方程,求得判别式.将
点坐标代入椭圆方程,同样求其判别式.两次求得的判别式没有交集,故不存在这样的
点.
(1)由椭圆的离心率,则
,b2=a2﹣c2=c2,
由x2+y2﹣2y=0的标准方程x2+(y﹣1)2=1,则b=1,c=1,a=,
∴椭圆的标准方程:;
(2)假设存在Q,使得满足,
设A(x1,y1),B(x2,y2).直线l:y=2x+m,
则Q(x0,y0),P(p,),则
=(x1﹣p,y1﹣
),
=(x0﹣x2,y0﹣y2),
由,则
,
,则
,整理得:9x2+8mx+2m2﹣2=0,
则△=(8m)2﹣4×9×(2m2﹣2)=8(9﹣m2)>0,解得:﹣3<m<3,①
则x1+x2=﹣m,y1+y2=2(x1+x2)+2m=
m, 则x0=﹣
m﹣p,y0=
m﹣
,
由Q(x0,y0)在椭圆上,则x02+2y02=2,
∴(﹣m﹣p)2+2(
m﹣
)2=2,整理得:9p2+16mp+8m2﹣
m+32=0有解,
则△2=(16m)2﹣4×9(8m2﹣m+32)=648﹣32(m﹣
)2≥0,
解得:3≤m≤12,② ①②无交集,因此不存在Q,使得.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间,但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系,在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数,得到了如下数据:
温差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
发芽数 | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)请根据统计的最后三组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)若由(1)中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗,则认为线性回归方程是可靠的,试判断(1)中得到的线性回归方程是否可靠;
(3)若100颗小麦种子的发芽率为颗,则记为
的发芽率,当发芽率为
时,平均每亩地的收益为
元,某农场有土地10万亩,小麦种植期间昼夜温差大约为
,根据(1)中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.
附:在线性回归方程中,
.