题目内容
【题目】如图:在四棱锥中,
平面
.
,
,
.点
是
与
的交点,点
在线段
上且
.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)推导出,在正三角形
中,
,从而
.
进而,由此能证明
平面
;
(2)分别以为
轴,
轴,
轴建立如图的空间直角坐标系,求出
与平面
的法向量
,进而利用向量的夹角公式可求出直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)求出面与面
的法向量,进而利用向量的夹角公式可求出二面角
的平面角的余弦值,再转化为正切值即可.
证明:(1)∵在四棱锥中,
平面
.
,
,
.点
是
与
的交点,
,
∴在正三角形中,
,
在中,∵
是
中点,
,
,又
,
,
,
∵点在线段
上且
,
,
平面
,
平面
,
∴平面
.
(2),
分别以为
轴,
轴,
轴建立如图的空间直角坐标系,
,
,
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
,
设直线与平面
所成角为
,
则,
故直线与平面
所成角的正弦值为
;
(3)由(2)可知,为平面
的法向量,
,
设平面的法向量为
,
则,即
,
令,解得
,
设二面角的平面角为
,则
,
故二面角的正切值为
.
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