题目内容
【题目】如图,三棱锥,侧棱,底面三角形为正三角形,边长为,顶点在平面上的射影为,有,且.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点使得⊥平面,如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)证线面平行,则要在平面找一线与之平行即可,显然分析即得证,(2)求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出,再根据向量的数量积公式便可求解(3)存在问题可以根据结论反推即可,容易得因为,所以与不垂直,故不存在
试题解析:
(Ⅰ)因为,且, ,所以,
所以.
因为为正三角形,所以,
又由已知可知为平面四边形,所以.
因为平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)由点在平面上的射影为可得平面,
所以, .
以分别为建立空间直角坐标系,则由已知可知, , , .
平面的法向量,
设为平面的一个法向量,则
由可得
令,则,所以平面的一个法向量,
所以,
所以二面角的余弦值为.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得, ,
因为,
所以与不垂直,
所以在线段上不存在点使得⊥平面.
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