题目内容
1.①若正实数a,b,c满足a+2b+3c=8,求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$的最小值.②若a,b,c均为正实数,求证:a+$\frac{1}{b}$,b+$\frac{1}{c}$,c+$\frac{1}{a}$的值至少有一个不小于2.
分析 ①利用“1”的代换,结合基本不等式,即可求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$的最小值.
②假设a+$\frac{1}{b}$,b+$\frac{1}{c}$,c+$\frac{1}{a}$都小于2,相加可得(a+$\frac{1}{b}$)+(b+$\frac{1}{c}$)+(c+$\frac{1}{a}$)<6,再结合基本不等式,引出矛盾,即可得出结论.
解答 ①解:($\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$)•$\frac{a+2b+3c}{8}$=1+4+9+2($\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$)+3($\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$)+6($\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$)≥36
当且仅当a=b=c时,等号成立;…(6分)
②证明:假设a+$\frac{1}{b}$,b+$\frac{1}{c}$,c+$\frac{1}{a}$都小于2,则a+$\frac{1}{b}$<2,b+$\frac{1}{c}$<2,c+$\frac{1}{a}$<2,
∴(a+$\frac{1}{b}$)+(b+$\frac{1}{c}$)+(c+$\frac{1}{a}$)<6.
又∵a>0,b>0,c>0,
∴(a+$\frac{1}{b}$)+(b+$\frac{1}{c}$)+(c+$\frac{1}{a}$)=(a+$\frac{1}{a}$)+(b+$\frac{1}{b}$)+(c+$\frac{1}{c}$)≥2+2+2=6.
与(a+$\frac{1}{b}$)+(b+$\frac{1}{c}$)+(c+$\frac{1}{a}$)<6矛盾.
故a+$\frac{1}{b}$,b+$\frac{1}{c}$,c+$\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2.…(12分)
点评 用反证法证明数学命题的方法和步骤,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,是解题的突破口,属于中档题.
A. | (1) | B. | (2) | C. | (3) | D. | (4) |
A. | m=1,m=-3 | B. | m=1 | C. | m=-3 | D. | m=3 |
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |