题目内容
2．
有一块长为8米，宽为5米的长方形钢板．（1）现对其进行切割，焊接成一个长方体形水箱（无盖），
①从四个角处切去全等的小正方形，边长为x，
求水箱容积关于x的函数关系式V=f（x）及最大容积值；
②由于上述切割存在浪费，如果将切割下的小钢片重新焊接能够做成
水箱上盖，请你求出水箱容积的最大值；（结果保留小数点后两位）
（2）若不许材料浪费，则所做成的长方体水箱（无盖）的表面积是40，你能猜测出理论上最理想的焊接设计模型是怎样的，才能使容积达到最大吗？（给出焊接模型即可）
分析 （1）①利用长方体的体积公式，可得水箱容积关于x的函数关系式V=f（x），利用导数求出最大容积值；
②由①可知，f（x）在[$\frac{20}{13}$，$\frac{5}{2}$）上为减函数，即可求出水箱容积的最大值；
（2）设长方体的长宽高分别为a，b，c，由题知ab+2ac+2bc=40，由均值定理得水箱容积的最大值．
解答 解：（1）①由题意知，水箱的底边两边长分别为8-2x米、5-2x米，高为x米
∴容积V=（8-2x）（5-2x）x，依题应有8-2x＞0，5-2x＞0．x＞0，∴0＜x＜$\frac{5}{2}$
∴f（x）=（8-2x）（5-2x）x，定义域为（0，$\frac{5}{2}$） …（2分）
f′（x）=12x2-52x+40=4（x-1）（3x-10），
令f′（x）=0解得x=1 （x=$\frac{10}{3}$舍去）
0＜x＜1时，f′（x）＞0；1＜x＜$\frac{5}{2}$时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，$\frac{5}{2}$）上单调递减，
∴当x=1时，f（x）max=f（1）=18（平方米） …（6分）
②由题知，4x2≥（8-2x）（5-2x），解得x≥$\frac{20}{13}$，即f（x）=（8-2x）（5-2x）x，定义域为[$\frac{20}{13}$，$\frac{5}{2}$）
由①可知，f（x）在[$\frac{20}{13}$，$\frac{5}{2}$）上为减函数，
∴当x=$\frac{20}{13}$时，f（x）max=$\frac{17000}{133}$ （平方米）≈7.74（平方米） …（10分）
（2）设长方体的长宽高分别为a，b，c，由题知ab+2ac+2bc=40
由均值定理得，40≥$3\root{3}{4{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$⇒V4=abc≤$\frac{40\sqrt{30}}{9}$≈24.343
当且仅当a=b=2c时取等号，这时底面为正方形
∴理论上最理想的焊接设计是正四棱柱，此时容积最大．…（12分）
点评 此题考查利用导数求闭区间的最值以及均值定理的运用，考查学生的实际操作能力，确定函数关系是关键．
