Question

4．己知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）若函数f（x）=1n$\frac{1-x}{1+x}$，证明：f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．

Answer 1

分析 （1）要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定；
（2）根据函数单调性的定义进行判定单调性；
（3）先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）即可．

解答 （1）证明：∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）证明：f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），
当-1＜x＜y＜1时，$\frac{x-y}{1-xy}$，由条件知f（$\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，
即f（x）-f（y）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）解：由$\frac{1-x}{1+x}$＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
又f（x）+f（y）=1n$\frac{1-x}{1+x}$+ln$\frac{1-y}{1+y}$=1n（$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{1-y}{1+y}$）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．

点评 本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性性，属于中档题，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质．