Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2，等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₄+1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1、a_n+1-a_n=2可知数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，进而计算即得结论；
（2）通过（1）可知c_n=（2n-1）•2^n-1，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b₁=a₁=1，b₄=a₄+1=8，
∴公比q=$\root{3}{\frac{{b}_{4}}{{b}_{1}}}$=$\root{3}{\frac{8}{1}}$=2，
∴b_n=2^n-1；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
错位相减得：-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
∴S_n=-1-2（2¹+2²+…+2^n-1）+（2n-1）•2ⁿ
=-1-2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（2n-1）•2ⁿ
=3+（2n-3）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．