题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
，且
，
为
中点.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使得点到平
面
的距离为
？若存在，确定点的位置；
若不存在，请说明理由.
【答案】解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面
为正方形，
∴
，又
，
∴
平面
，
∴
. 2分
同理
， 4分
∴
平面．
5分
（Ⅱ）解：设
为
中点，连结
，
又
为
中点，
可得
，从而
底面
．
过 作
的垂线
，垂足为
,连结
．
由三垂线定理有
，
∴
为二面角
的平面角. 7分
在
中，可求得
∴
． 9分
∴ 二面角的大小为
． 10分
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点到平面
的距离为
，
即要点
到平面的距离为
.
过 
作
的垂线
，垂足为
,
∵平面，
∴平面
平面，
∴
平面
，
即
为点到平面
的距离.
∴
，
∴
． 12分
设
，
由
与
相似可得
，
∴
，即
．
∴在线段
上存在点
，且为中点，使得点到平面的距离为．
14分
解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系
， 6分
则
.
设
为平面
的一个法向量，
则
，
．
又
令
则
得
． 8分
又
是平面
的一个法向量，
9分
设二面角的大小为 
，
则
．
∴ 二面角的大小为
． 10分
（Ⅲ）解：设
为平面
的一个法向量，
则
，
．
又，
令
则
得
． 12分
又
∴点到平面的距离
，
∴
，
解得
，即 
.
∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．14分
【解析】
试题分析：解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，
∴平面，
∴. 2分
同理， 4分
∴平面．
5分
（Ⅱ）解：设为中点，连结，
又为中点，
可得，从而底面．
过 作的垂线，垂足为,连结．
由三垂线定理有，
∴为二面角的平面角. 7分
在中，可求得
∴． 9分
∴ 二面角的大小为． 10分
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点
到平面的距离为，
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线，垂足为,
∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即为点到平面的距离.
∴，
∴． 12分
设，
由与相似可得
，
∴，即．
∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．14分
解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系， 6分
则.
设为平面的一个法向量，
则，．
又
令则
