题目内容
【题目】如图,椭圆的离心率为
,以椭圆
的上顶点
为圆心作圆,
,圆
与椭圆
在第一象限交于点
,在第二象限交于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求出此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
的一点,且直线
分别与
轴交于点
为坐标原点,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)详见解析.
【解析】试题分析:(1)依据题设条件求出参数即可;(2)依据题设条件及向量的数量积公式建立目标函数,再借助该函数取得最小值时求出圆的方程;(3)借助直线与椭圆的位置关系进行分析推证:
试题解析:
(1) 由题意知, ,得
.
故椭圆的方程为
.
(2) 点
与点
关于
轴对称,设
,由点
椭圆
上,则
,得
.由题意知,
,
当
时,
取得最小值
.此时,
,故
.又点
在圆
上,代入圆的方程,得
.
故圆的方程为
.
(3)设,则
的方程为
.令
,得
.同理可得,
. 故
. ①
都在椭圆
上,
,代入①得,
.即得
为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目