Question

16．已知函数f（x）=log₃x+$\frac{1}{2}$的定义域为[1，9]求y=[f（x）]²-f（x²）的最大、最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 将函数式子化简为y=（log₃x）²-log₃x-$\frac{1}{4}$，利用换元法转化为二次函数的最值问题，注意x的取值范围．

解答 解：f（x²）=log₃x²+$\frac{1}{2}$=2log₃x+$\frac{1}{2}$，
y=[f（x）]²-f（x²）=（log₃x）²-log₃x-$\frac{1}{4}$，
令t=log₃x，∵x∈[1，9]，∴0≤t≤2．
y=t²-t-$\frac{1}{4}$=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$．
∴当t=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{3}$时，y=[f（x）]²-f（x²）取得最小值-$\frac{1}{2}$；
当t=2，即x=9时，y=[f（x）]²-f（x²）取得最大值$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了对数性质，换元法和二次函数在给定区间上的最值，属于基础题．