Question

【题目】已知函数，，函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点.

（1）求表达式和的单调增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 的单调增区间为， (2) 或.

【解析】分析：（1）由题意，求得 ，进而求得，，即可得到函数的解析式，求得其单调递增区间；

（2）根据三角函数的图象变换，得到函数，进而求得函数在区间上的值域为，要使得函数在区间上有且只有一个零点，只需函数的图象和直线有且只有一个零点，即可求得结论.

详解：（1） ，

，

的最小正周期为，∴，

∵的图象过点，∴.

∴，即，

令，，求得，，

故的单调增区间为，.

（2）将函数的图象向右平移个单位，可得

的图象；

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

的图象.

在区间上，，∴，

故在区间上的值域为，

若函数在区间上有且只有一个零点，

由题意可得，函数的图象和直线有且只有一个零点，并根据图象可知，或.