Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出函数y的导数，设切点为（m，n），由条件得到2=

a

m

，n=2m+b，n=alnm，即有b=aln

a

2

-a（a＞0），再对b求导，求出单调区间，极值也为最值，即可得到所求．

解答： 解：y=alnx的导数为y′=

a

x

，
由于直线y=2x+b是曲线y=alnx的切线，
则设切点为（m，n），
则2=

a

m

，n=2m+b，n=alnm，
即有b=aln

a

2

-a（a＞0），
b′=ln

a

2

+1-1=ln

a

2

，
当a＞2时，b′＞0，函数b递增，
当0＜a＜2时，b′＜0，函数b递减，即有a=2为极小值点，
也为最小值点，且最小值为：2ln1-2=-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．