题目内容

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（　　）
A．1B．2C．3D．4
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
y12=2px1，①
y22=2px2，②
 ①-②，得：（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），
∴
y1-y2
x1-x2
•（y1+y2）=2p，
∵过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，
∴
y1-y2
x1-x2
=1，AB方程为：y=x-
p
2
，
∵
y1+y2
2
为AB中点纵坐标，
∴y1+y2=2p，
∵y1=x1-
p
2
，y2=x2-
p
2
，
∴y1+y2=x1+x2-p，
∴x1+x2=y1+y2+p，
∵
x1+x2
2
=
(y1+y2+p)
2
=
3p
2
，
∴AB中点横坐标为
3p
2
，
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，
∴
p
2
+
3p
2
=4，解得p=2．
故选B．
练习册系列答案
相关题目
已知点（1，1）是椭圆
x2
4
+
y2
2
=1某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：______．
（备用题）如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的点M(1，
3
2
)到它的两焦点F1、F2的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．
（Ⅰ）求此椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．
如图，线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设F1为点M的轨迹的左焦点，F2为右焦点，过F1的直线交M的轨迹于P，Q两点，求S△PQF2的最大值，并求此时直线PQ的方程．
已知点B（0，1），A，C为椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．
（1）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？
（2）当a=2时，求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．
（1）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
已知椭圆┍的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．
（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求点M的坐标；
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
b2
a2
，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆┍上的点Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围．
若直线y=kx+1与曲线x=
1-4y2
有两个不同的交点，则k的取值范围是______．

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