题目内容
【题目】已知：椭圆
的离心率为
，且
，过左焦点
作一条直线交椭圆于
、
两点，过线段
的中点
作的垂线交
轴于点
.
（1）求椭圆方程；
（2）当
面积最大时，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据离心率为
，且a+b=3，a2=b2+c2可求椭圆方程；
（2）设出直线AB方程
，利用韦达定理求出
及中点M坐标，从而可得直线MP方程
，求出P点坐标，再利用点到直线距离公式写出面积，根据导数求最值．
（1）由已知条件可得,
,化简解得a=2,b=1,c=
∴椭圆方程为；
（2）设,
，与椭圆联立消去x，
得：
，
,
,
又
，
中点
，所以
，
令x=0,可得
，
故得点
，到的距离
，
所以
，
令
，则
，
构造函数
，
，
可得
即
时
取得最小值，
所以
即
时，
面积最大.
当面积最大时，直线
的斜率为.
【题目】近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至
年底，中国铁路运营里程达
万千米，这个数字比
年增长了
倍；高铁运营里程突破
万千米，占世界高铁运营里程的
以上，居世界第一位．如表截取了
年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．
年份 |
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年份代码 |
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高铁密度 |
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已知高铁密度
与年份代码
之间满足关系式
（
为大于
的常数）．
（1）根据所给数据，求关于的回归方程（精确到
位）；
（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过
千米/万平方千米．
参考公式：设具有线性相关系的两个变量
的一组数据为
，则回归方程
的系数：
，
参考数据：
，
，
，
，
，
．
【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元） |
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人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
（1）根据以上数据完成
列联表，并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合计 |
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为
（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数
（元）的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：
，
.
附表：
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
