题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,证明:曲线
在
处的切线与直线
垂直;
(2)若,当
时,证明:
.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)先求导数,可得切线的斜率,根据斜率关系可得垂直;
(2)把不等式转化为,然后构造函数确定最值进行求解.
(1)依题意,,故
;
则,而直线
的斜率为
,故两条直线的斜率之积为
;
即曲线在
处的切线与直线
垂直.
(2)要证,即证
,即证
;
当时,令
,
求导可知在
上单调递增,在
上单调递减,令
;
当
时,
,所以
;
当
时,函数
单调递减,所以其最小值为
,
最大值为
,所以下面判断
与
的大小,即判断
与
的大小,
其中,令
,
,令
,
则;因为
,所以
,
单调递增;
因为,
,
故存在,使得
,
所以在
上单调递减,在
单调递增,
所以,
所以时,
;即
,也即
,
综上所述,.
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练习册系列答案
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【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)